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MATLAB符号运算(3)
2016/5/25
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728
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命令1  符号函数的Taylor级数展开式

函数  taylor

格式  r = taylor(f,n,v)   %返回符号表达式f中的、指定的符号自变量v(若表达式f中有多个变量时)的n-1阶的Maclaurin多项式(即在零点附近v=0)近似式,其中v可以是字符串或符号变量。

r = taylor(f)      %返回符号表达式f中的、符号变量v6阶的Maclaurin多项式(即在零点附近v=0)近似式,其中v=findsym(f)。

r = taylor(f,n,v,a)   %返回符号表达式f中的、指定的符号自变量vn-1阶的Taylor级数(在指定的a点附近v=a)的展开式。其中a可以是一数值、符号、代表一数字值的字符串或未知变量。我们指出的是,用户可以以任意的次序输入参量nva,命令taylor能从它们的位置与类型确定它们的目的。解析函数f(x)在点x=aTaylor级数定义为:

3-46

>>syms x y a pi m m1 m2

>>f = sin(x+pi/3);

>>T1 = taylor(f)

>>T2 = taylor(f,9)

>>T3 = taylor(f,a) 

>>T4 = taylor(f,m1,m2)

>>T5 = taylor(f,m,a)

>>T6 = taylor(f,y)

>>T7 = taylor(f,y,m)   % 或taylor(f,m,y)

>>T8 = taylor(f,m,y,a)

>>T9 = taylor(f,y,a)

计算结果为:

T1 =

1/2*3^(1/2)+1/2*x-1/4*3^(1/2)*x^2-1/12*x^3+1/48*3^(1/2)*x^4+1/240*x^5

T2 =

1/2*3^(1/2)+1/2*x-1/4*3^(1/2)*x^2-1/12*x^3+1/48*3^(1/2)*x^4+1/240*x^5-1/1440*3^(1/2)* x^6-1/10080*x^7+1/80640*3^(1/2)*x^8

T3 =

sin(a+1/3*pi)+cos(a+1/3*pi)*(x-a)-1/2*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^2-1/6*cos(a+1/3*pi)*  (x-a)^3+1/24*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^4+1/120*cos(a+1/3*pi)*(x-a)^5

T4 =

sin(m2+1/3*pi)+cos(m2+1/3*pi)*(x-m2)-1/2*sin(m2+1/3*pi)*(x-m2)^2-1/6* cos(m2+1/3*pi)*(x-m2)^3+1/24*sin(m2+1/3*pi)*(x-m2)^4+1/120* 

cos(m2+1/3*pi)*(x-m2)^5

T5 =

sin(a+1/3*pi)+cos(a+1/3*pi)*(x-a)-1/2*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^2-1/6*cos(a+1/3*pi)*  (x-a)^3+1/24*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^4+1/120*cos(a+1/3*pi)*(x-a)^5

T6 =

sin(y+1/3*pi)+cos(y+1/3*pi)*(x-y)-1/2*sin(y+1/3*pi)*(x-y)^2-1/6*cos(y+1/3*pi) *(x-y)^3+1/24*sin(y+1/3*pi)*(x-y)^4+1/120*cos(y+1/3*pi)*(x-y)^5

T7 =

sin(m+1/3*pi)+cos(m+1/3*pi)*(x-m)-1/2*sin(m+1/3*pi)*(x-m)^2-1/6*cos(m+1/3*pi) *(x-m)^3+1/24*sin(m+1/3*pi)*(x-m)^4+1/120*cos(m+1/3*pi)*(x-m)^5

T8 =

sin(a+1/3*pi)+cos(a+1/3*pi)*(x-a)-1/2*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^2-1/6*cos(a+1/3*pi)*  (x-a)^3+1/24*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^4+1/120*cos(a+1/3*pi)*(x-a)^5

T9 =

sin(a+1/3*pi)+cos(a+1/3*pi)*(x-a)-1/2*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^2-1/6*cos(a+1/3*pi)*  (x-a)^3+1/24*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^4+1/120*cos(a+1/3*pi)*(x-a)^5

命令2  Taylor级数计算器

函数  taylortool

格式  taylortool   %该命令生成一图形用户界面,显示缺省函数f=x*cos(x)在区间[-2*pi2*pi]内的图形,同时显示函数f的前N=7项的Taylor多项式级数和(在a=0附近的)图形,如图1。通过更改f(x)项可得不同的函数图形。

taylortool('f')  %对指定的函数f,用图形用户界面显示出Taylor展开式。(图3-14

3-47

>>taylortool('sin(x*sin(x))')

再通过改变相关的参量,可得如图3-15

  

         

 

     

3-14  Taylor级数计算器                    图3-15  函数sin(x*sin(x))的taylortool界面

3.2.6  其它

命令1  Jacobian矩阵

函数  jacobian

格式  R = jacobian(w,v)   

说明  计算wvJacobian矩阵。其中w为符号单值函数表达式或符号列向量,v为一符号行向量。输出参量R=rij)的元素rij 为:,i=1,2,…,size(w),j=1,2,…,length(v)

3-48

>>syms x y z u v w

>>w = [x*y*z; y; x+z];

>>v = [x,y,z];        

>>R = jacobian(w,v)

>>b = jacobian(x+u, v)

计算结果为:

R =

    [ y*z,  x*z, x*y]

    [   0,   1,   0]

    [   1,   0,   1]

b =

    [ 1, 0, 0]

命令 Jordan标准形

函数  jordan

格式  J = jordan(A)   %计算矩阵A的Jordan标准形。其中A为一确切已知的符号或数值矩阵。即它的元素必须是整数或小整数的比值。任何的矩阵输入误差将导致不同的Jordan标准形。即Jordan标准形对数据是敏感的。

[V,J] = jordan(A)   %返回Jordan标准形矩阵J与相似变换矩阵V,其中V的列向量为矩阵A的广义特征向量。它们满足:V\A*V=J

3-49

>>A = [1 -3 -2; -1  1 -1; 2 4 5]

>> [V,J] = jordan(A)

>>V = double(V);

>>Test = all(all(V\A*V == J))

计算结果为:

V =

    -1    -1     1

     0    -1     0

     1     2     0

J =

     3     0     0

     0     2     1

     0     0     2

Test = 1

命令 Lamber的W函数

函数  lambertw

格式  Y = lambertw(X)   %计算参量X的每一元素x的Lamber的W函数值,其中X为一数值或符号矩阵。Lamber的函数W=W(x)为方程的解:wew = x。

3-50

>>W1 = lambertw([ -exp(-1); pi]) 

>>syms x y

>>W2 = lambertw([0 x;1 y])

计算结果为:

W1 =

     -1.0000 + 0.0000i

      1.0737        

W2 =

      [         0, lambertw(x)]

      [ lambertw(1), lambertw(y)]

命令 符号表达式的LaTex的表示式

函数  latex

格式  latex(S)   %返回符号表达式S的LaTex格式的表示式。该格式可以使表达式S在图形窗口中进行显示(如命令title、text等)。

3-51

>>syms x

>>f = taylor(sin(1+x)); 

>>Lat1 = latex(f) 

>>M = sym(magic(3)); 

>>Lat2 = latex(M)

计算结果为:

Lat1 =

\sin(1)+\cos(1)\mbox {{\tt `x~`}}-1/2\,\sin(1){\mbox {{\tt `x~`}}}^{2}-1/6\,\cos(1){\mbox {{\tt `x~`}}}^{3}+1/24\,\sin(1){\mbox {{\tt `x~`}}}^{4}+{\frac {1}{120}}\,\cos(1){\mbox {{\tt `x~`}}}^{5}

Lat2 =

\left [\begin {array}{ccc} 8&1&6\\\noalign{\medskip}3&5&7\\\noalign{\medskip}4…

&9&2\end {array}\right ]

命令 调用Maple内核

函数  maple

格式  r = maple('statement')   %将参数命令statement传递给Maple内核,且返回计算结果。在必要时,可以在参量statement后面加上分号(;)。

r = maple('function',arg1,arg2,  %该命令接受任何的带引号的函数名'function',与相关的输入参量arg1,arg2,…。在必要时,要将输入参量转换成符号表达式。若输入参量为syms,则maple返回一sym,否则返回一类型为char的结果。

[r, status] = maple()   %有条件地返回警告/错误信息。当语句能顺利执行,则r为计算结果,status0;若语句不能通过执行,r为相应的警告/错误信息,而status为一正整数。

maple('traceon') maple traceonmaple trace on   %将显示所有的后面的Maple语句与其相应的结果显示于屏幕上

maple('traceoff') maple traceoffmaple trace off   %将关闭上面的操作特性

3-52

>>Pi = maple('evalf(Pi,100)')

>>syms x

>>v = [x^2-1;x^2-4]

>>maple traceon

>>w = factor(v) 

计算结果为:

Pi =

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164…

                                           06286208998628034825342117068

v =

    [ x^2-1]

    [ x^2-4]

statement:

   map(ifactor,array([[x^2-1],[x^2-4]]));

result:

   Error, (in ifactor) invalid arguments

statement:

   map(factor,array([[x^2-1],[x^2-4]]));

result:

   matrix([[(x-1)*(x+1)], [(x-2)*(x+2)]])

w =

[ (x-1)*(x+1)]

[ (x-2)*(x+2)]

命令 初始化Maple内核

函数  mapleinit

格式  mapleinit   该命令用于确定包含Maple库的路径,再装载Maple的线性代数与积分变换包、初始化命令digits、指定几个别名。用户可以编辑mapleinitM-文件,用于改变到Maple包的路径,只需按如下的方法改变变量initstring的值:

1.若用户已经有一Maple V,Release 5的库在目录C:\Maple\Lib上,在文件mapleinit.m中加入:maplelib = 'C:\MAPLE\LIB'

2.从MATLAB中删除旧的Maple包版本。

命令 Maple数学函数的数值计算

函数  mfun

格式  Y = mfun('function',par1,par2,par3,par4) 

说明  计算一指定的Maple软件中已知的数学函数function的数值。每一参量par为该函数相应的具体数值。用户可以输入满4个参量。最后指定的参量可以是矩阵,通常对应于x。其他参量的位数取决于该函数规定的范围。用户可以通过下面的命令获得相关参数的信息:help mfunlist;mhelp function;Maple用16位精度计算函数function。函数function中的任何奇异值将返回NaN。

3-53

>>M1 = mfun('dilog',5) 

>>M2 = mfun('Psi',[3*i 0])

计算结果为:

M1 =

     -2.3699

M2 =

     1.1080 + 1.7375i      NaN

命令8  列出命令mfun中特定的Maple函数

函数  mfunlist

格式  mfunlist 

1.列出在使用命令mfun中用到的特殊的数学函数。下表中参量的一些约定:x,y:实数参量;z,z1,z2:复数参量;m,n:整数参量

3-1  mfun特殊函数

函数名

定   义

Mfun名

参量说明

Bernoulli数

与多项式

生成函数:

Bernoulli(n)

Bernoulli(n,t)

n≥0

0<|t|<2π

Bessel函数

BesselI, BesselJ:第一类Bessel函数

BesselK, BesselY:第二类Bessel函数

BesselJ(v,x)

BesselY(v,x)

BesselI(v,x)

BesselK(v,x)

v为实数

Beta函数

 

Beta(x,y)

 

二项式系数

 

Binomial(m,n)

 

完全椭圆积分

第一、二、三类Legendre完全椭圆积分

LegendreKc(k)

LegendreEc(k)

LegendrePic(a,k)

a为任意实数

-<a<∞

k为任意实数

0<k<1

带余模的完全

椭圆积分

与余模相关的第一、二、三类Legendre完全椭圆积分

LegendreKc1(k)

LegendreEc1(k)

LegendrePic1(a,k)

a为任意实数

-<a<∞

k为任意实数

0<k<1

余差函数

与它的累积分

Erfc(z) = 

 

erfc(n,z) = 

 

erfc(z)

erfc(n,z)

n>0

Dawson积分

 

dawson(x)

 

Ψ-函数

 

Psi(x)

 

二重对数积分

 

dilog(x)

x>1

误差函数

        

erf(z)

 

Euler数与多项式

生成Euler数的函数:

 

euler(n)

euler(n,z)

n≥0

|t|<π/2

指数积分

 

    

Ei(n,z)

Ei(x)

n≥0

real(z)>0

Fresnel正弦

与余弦积分

 

FresnelC(x)

FresnelS(x)

 

Г-函数

 

GAMMA(z)

 

调和函数

 

     =Ψ(n+1) + γ

harmonic(n)

n>0

双曲正弦

与余弦积分

 

Chi(z) = γ+ln(z) +

       

Shi(z)

Chi(z)

 

广义超几何函数

F(n,d,z) = 

hypergeom(n,d,x)

其中

n = [n1,n2,]

d = [d1,d2,]

n1,n2,… 为实数

d1,d2,… 为非负实数

不完全椭圆积分

第一、二、三类不完全Legendre完全椭圆积分

LegendreF(x,k)

LegendreE(x,k)

LegendrePi(x,a,k)

0<x≤∞,a为实数

-∞<a<∞,k为实数

0<k<1

不完全Г-函数

Г(a,z)=

GAMMA(z1,z2)

 

Г-函数的对数

lnГ(z) = ln(Г(z))

lnGAMMA(z)

 

对数积分

 

      = Ei(ln(x))

Li(x)

x>1

Г多项式函数

其中Ψ(z)为Γ-函数

 

Psi(n,z)

N0

 

移位正弦积分

Ssi(z)=Si(z) ? π/2

Ssi(z)

 

对于上面的特殊函数function,用户可以通过下面的命令得到更多的帮助信息:mhelp function

总的来说,函数的精度跟它的根相比会较低,且当它的参数相对而言较大时,精度也较底。函数的执行时间取决于特定的函数与它的输入参量。总之,其计算将比标准的MATLAB计算慢一些。

2.正交多项式函数:

下面的函数需要Maple正交多项式包,它们仅仅对于MATLAB的扩展符号数学工具箱有用。在使用这些函数之前,用户要用下面的命令初始化Maple正交多项式包:maple('with','orthopoly')

3-2  正交多项式函数

下表参量的约定:n:非负整数;x:任意实数

多  项  式

Maple名

参量说明

Gegenbauer多项式

G(n,a,x)

a为非有理数代数表达式或者是大于-1/2的有理数

Hermite多项式

H(n,x)

 

Laguerre多项式

L(n,x)

 

广义Laguerre多项式

L(n,a,x)

a为非有理数代数表达式或者是大于-1的有理数

Legendre

P(n,x)

 

Jacobi

P(n,a,b,x)

ab为非有理数代数表达式或者是大于-1的有理数

第一、二类Chebyshev多项式

T(n,x)U(n,x)

 

命令  Maple命令帮助

函数  mhelp

格式  mhelp topicmhelp('topic') 

说明  返回Maple软件中指定的Maple标题topic的在线帮助文档信息。

命令10  交互式计算Riemann和

函数  rsums

格式  rsums(f)   %交互式地通过Riemann和计算函数f(x)的积分。rsums(f)显示函数的图形。用户可以通过拖动图形下方的滑块来调整Riemann和的项数,有效的项数从2128

3-54

>>rsums sin(-5*x^2)

计算图形为图3-16

 

 

3-16  函数的Riemann和

命令11  在一符号表达式或矩阵中进行符号替换

函数  subs

格式  R = subs(S)   %用从调用的函数中获得的变量值,或MATLAB的工作空间中存在的变量值,替换表达式S中所有出现的相同的变量,同时自动进行化简计算;若是数值表达式,则计算出结果。

R = subs(S,old,new)   %用新值new替换表达式s中的旧值old,参量old是一符号变量或代表一变量名的字符串,new是一符号/数值变量或表达式。若oldnew为有相同大小的阵列,则用new中相应的元素替换old中的元素;若S与old为标量,而new为阵列或单元阵列,则标量S与old将扩展为与new同型的阵列;若new为数值矩阵的单元阵列,则替换按元素的方向执行。若subs(S,old,new)没有改变S,则subs(S,old,new)被证明是可靠的。这提供了对以前版本的向后兼容性,且不会交换参量的位置。

3-55

>>a = 980,C1=3;

>>y = dsolve('Dy = -a*y')

>>syms b

>>subs(y)

>>subs(a+b,a,4)

>>subs(cos(a)+sin(b),{a,b},{sym('alpha'),2})

>>subs(exp(a*t),'a',-magic(2))

>>subs(x*y,{x,y},{[0 1;-1 0],[1 -1;-2 1]})

命令12  创建符号数值、变量与对象

函数  sym

格式  S = sym(A)   %用输入参量A,构造一类型为‘sym’的对象s。若A为字符串,则S为符号数值或变量;若A为一数值标量或矩阵,则S为代表所给数值的符号表达式。

x = sym('x')   %创建一名字为‘x’的符号变量,且将结果存于x

pi = sym('pi')   %创建一符号数值,这可避免了用浮点近似表示π的误差,pi的这种创建方法将暂时地代替了有相同名字、用于生成无理数π的近似值的内建数值函数pi.m。

x = sym('x','real')   %创建一实符号变量。若x有了具体的值,则命令clear x只能清除x的值,而不能改变x的“属性”。

x = sym('x','unreal')  %使x变成一纯粹的、没有任何附加属性的符号变量。

S = sym(A,flag)   %将一数值标量或矩阵转换成符号形式。对浮点数值的转换方法要用第二个参量flag来指定。其中flag可以是'r''d''e''f'

’f’:代表“浮点格式”。

’r’:代表“有理格式”(该方式为缺省转换格式)。

’e’:代表“估计误差”。

’d’:代表“十进制格式”。

命令13  创建多个符号对象的快捷命令

函数  syms

格式  syms  arg1  arg2 …     %定义arg1arg2为符号

syms  arg1 arg2 … real   %该命令是下列命令的简洁形式:

arg1 = sym('arg1','real');

arg2 = sym('arg2','real'); 

syms arg1 arg2 … unreal   %该命令是下列命令的简洁形式:

arg1 = sym('arg1','unreal');

arg2 = sym('arg2','unreal'); 

注:clear x不能清除符号变量x的属性“real”,只能清除变量x。要想清除该属性,要输入:syms x unreal或clear mexclear all。执行后面的两个命令后,Maple内核将重新装载入MATLAB的工作空间(这是不可取的,因为花费时间)。

3-56

>>syms x beta real  %符号对象已经生成,执行下面一些操作:

>>whos

将显示工作空间中存在变量的详细信息:

      Name       Size         Bytes  Class

       beta       1x1            132  sym object

        x        1x1            126  sym object

      Grand total is 7 elements using 258 bytes

 y = x + i*beta; clear x; y 

通过上面的操作,我们看到,当x被清除掉后,y的值并没有马上改变:

 y =

     x+i*beta

命令14  将符号多项式转化为数值多项式

函数  sym2poly

格式  c = sym2poly(s)   %返回符号多项式s的数值系数行向量c。多项式自变量次数的系数按降幂排列。即行向量c的第一分量c1为多项式s的最高次数项的系数,c2为第二高次数项的系数,如此类推。

3-57

>>syms x u;

>>c1 = sym2poly(3*x^3 - 2*x^2 ? sqrt(5)) 

>>c2 = sym2poly(u^4 ? 3 + 5*u^2)

计算结果为:

c1 =

     3.0000   -2.0000    0   -2.2361

c2 =

     1     0     5     0    -3

命令15  可变精度算法

函数  vpa

格式  R = vpa(A)   %用可变精度算法来计算A中的每一元素,使其成为有d位精确度的十进制数。其中d为命令digits设置的当前位数。R中的每一元素为一符号表达式。

R = vpa(A,d)R = vpa A d   %用参量d指定的位数(而非命令digits设置的位数)来表示A中的每一元素。R中的每一元素为一符号表达式。

3-58

>>digits(25)

>>q = vpa(sym(sin(pi/6)))

>>p = vpa(pi)

>>gold_ratioi = vpa('(sqrt(5)-1)/2')

>>vpa pi 75 

>>A = vpa(gallery(5),8)

>>B = vpa(hilb(3),5)

计算结果为:

q =

    .5000000000000000000000000

p =

    3.141592653589793238462643

gold_ratioi =

          .6180339887498948482045870

ans =

     3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097… 494459230781640629

A =

    [     -9.,     11.,    -21.,     63.,   -252.]

    [     70.,    -69.,    141.,   -421.,   1684.]

    [   -575.,    575.,  -1149.,   3451., -13801.]

    [   3891.,  -3891.,   7782., -23345.,  93365.]

    [   1024.,  -1024.,   2048.,  -6144.,  24572.]

B =

    [     1., .50000, .33333]

    [ .50000, .33333, .25000]

    [ .33333, .25000, .20000]

命令16  符号表达式的C语言代码

函数  ccode

格式  ccode(s)   %返回C语言的、用于计算符号表达式s的语句段落

3-59

>>syms x

>>s = taylor(exp(x));

>>ccode(s)

计算结果为:

ans =

      t0 = 1.0+x+x*x/2.0+x*x*x/6.0+x*x*x*x/24.0+x*x*x*x*x/120.0;

注:t0x=0附近的计算公式(Taylor展式)。

命令17  符号表达式的Fortran语言代码

函数  fortran

格式  fortan(s)   %返回一Fortan语言的、用于计算符号表达式s的语句段落

3-60

>>syms x

>>f = taylor(sin(x));

>>F1 = fortran(f)

>>H = sym(hilb(4));

>>F2 = fortran(t*(H))

计算结果为:

F1 =

        t0 = x-x**3/6+x**5/120

F2 =

        T(1,1) = t      T(1,2) = t/2     T(1,3) = t/3     T(1,4) = t/4

        T(2,1) = t/2    T(2,2) = t/3     T(2,3) = t/4     T(2,4) = t/5

        T(3,1) = t/3    T(3,2) = t/4     T(3,3) = t/5     T(3,4) = t/6 

        T(4,1) = t/4    T(4,2) = t/5     T(4,3) = t/6     T(4,4) = t/7


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